问一个卡尔曼里的数学问题

clqfly

最近自学卡尔曼，就是网上传的最广的用温度举例的那个资料，看到第二个公式的时候有一处疑惑，以下复制自原文：

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1) A’+Q ……… (2) ……(预测系数)

温度预测系数：5^2 = 3^2 + 4^2；（P(k-1|k-1)=3,Q=4）

式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

其中  A P(k-1|k-1) A’具体是什么含义？翻遍了线代和概率论的书籍都没找到，烦请大虾解释一下，谢谢

philoman

这个式子的意思就是, 用P(k-1/k-1)来更新P(k/k-1)；A是矩阵，P也是矩阵，A‘是A的转置矩阵，AP(k-1/k-1)A'是矩阵相乘；
这里为了帮助理解，我要说明一个性质，一个方差为D_A随机变量A，乘以一个系数a后，得到一个新的随机变量B=a*A，则B的方差D_B=a^2*D_A，星号表示乘法运算，^2表示平方；若a、A是矩阵，则不能简单地取平方，而要以a*A*a'的形式替代；

clqfly

philoman 发表于 2012-5-12 23:32
这个式子的意思就是, 用P(k-1/k-1)来更新P(k/k-1)；A是矩阵，P也是矩阵，A‘是A的转置矩阵，AP(k-1/k-1)A' ...

首先感谢你的回复，我一开始也是这么想的，但不知如何证明这个A*P*A‘就等价于你所说的a^2*D_A


我是假设两个二阶矩阵A和P，元素均用字母代替，计算出A*P*A‘与A^2*P不相等。后来一想也是，能写成A^2*P也就不用写成A*P*A‘了，所以philoman大虾能不能再说一下证明过程呢？

clqfly

自己顶一下，有哪位大神能帮忙解答

philoman

楼主纠结了, 矩阵运算跟代数运算差别很大的；关于APA'，你可以去翻翻书, 矩阵轮/高等代数, 不要局限于线性代数

philoman

简单证明一下吧，对于零均值列向量A，其协方差矩阵为d_A=mean(AA')，那么列向量B=PA的协方差矩阵为d_B=mean((PA)(PA)')=mean(PAA'P')=P*mean(AA')*P'=P*d_A*P；关于(PA)'=A'P'，就不用解释了吧？

小笨蛋

philoman 发表于 2012-5-14 16:13
简单证明一下吧，对于零均值列向量A，其协方差矩阵为d_A=mean(AA')，那么列向量B=PA的协方差矩阵为d_B=mean ...

我有个地方不懂，就是用这个公式计算卡尔曼增益，
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)

P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
协方差不是越来越小吗？最后不就趋近于0吗？那个时候怎么办？

clqfly

philoman 发表于 2012-5-14 16:07
楼主纠结了, 矩阵运算跟代数运算差别很大的；关于APA'，你可以去翻翻书, 矩阵轮/高等代数, 不要局限于线性 ...

《矩阵论》！小弟本科生一枚，还没接触到这么高深的东西，只是因为做毕设及兴趣原因想弄懂卡尔曼。谢谢6楼的提示。

renkd

需要努力了

skystalker

感谢philoman，现在我明白了