很形象的！卡尔曼滤波的原理说明转载

小笨蛋 · 发表于 2012-5-7 20:48:42

2．卡尔曼滤波器的介绍
（Introduction to the Kalman Filter）

为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。

在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！

下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。

3．卡尔曼滤波器算法
（The Kalman Filter Algorithm）

在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。

首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。

下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。

4．简单例子
（A Simple Example）

这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)

现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。

为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。

该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。
××××××××××××××××××

附matlab下面的kalman滤波程序：

clear
N=200;
w(1)=0;
w=randn(1,N)
x(1)=0;
a=1;
for k=2:N;
x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
end

V=randn(1,N);
q1=std(V);
Rvv=q1.^2;
q2=std(x);
Rxx=q2.^2;
q3=std(w);
Rww=q3.^2;
c=0.2;
Y=c*x+V;

p(1)=0;
s(1)=0;
for t=2:N;
p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
end

t=1:N;
plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');

转自 www.360doc.com/content/10/0107/18/48648_12915877.shtml

dbwu8280 · 发表于 2020-2-22 20:23:20

学习了，感谢分享。

cjxu · 发表于 2020-2-22 09:39:28

谢谢分享

bjjyh · 发表于 2020-2-22 09:35:38

在书上看到的是一堆公式，有个例子很好，还要多看看。

bj232 · 发表于 2020-2-20 21:43:03

好老的帖子了，不过确实很好理解

cumthe · 发表于 2020-2-20 19:12:21

感谢分享

aisledianzi · 发表于 2020-2-20 16:39:05

很好的解释，标记

moouse · 发表于 2018-9-21 20:36:06

标记一下

aisledianzi · 发表于 2018-9-21 16:46:15

mark一下

pingqifa · 发表于 2018-6-6 17:31:41

大家可否交流点自己稍微深入思考点的见解啊，看了两页评论，还是再翻回去看看吧

jjj · 发表于 2018-5-24 21:54:45

ding，一直感觉这东西很神秘！！！

电子创新实验室 · 发表于 2018-5-11 17:22:16

mark卡尔曼滤波

baimawangzi · 发表于 2018-5-8 22:20:09

慢慢学习，慢慢消化

辰星和月 · 发表于 2018-5-8 17:36:05

六年前的帖子了

pingqifa · 发表于 2018-5-8 17:32:33

mark一下，以后用得上

Jaz_羯 · 发表于 2018-5-6 22:35:39

看自己的小四轴用不用得上

wlmwwx · 发表于 2018-5-4 21:20:11

谢谢分享，收藏了

dell5571 · 发表于 2018-5-4 20:37:20

原来搞智能小车的时候用过

LoveDeathgod · 发表于 2018-5-2 11:41:53

学习了。。。

chenghuiwan · 发表于 2018-4-30 14:21:06

看到哪么多的计算公式就晕，不过讲得也蛮细的，谢谢分亨！

wilderujs · 发表于 2018-4-30 11:17:40

感觉还是不够通俗

wilderujs · 发表于 2018-4-18 07:34:40

怎样把技术掰开揉烂讲透，教育还有很多工作可做

lufcn · 发表于 2018-3-31 16:43:06

留痕，保存

知行合一 · 发表于 2016-11-7 15:53:19

用过卡尔曼滤波，但是一直处于比较迷的状态

stallone007912 · 发表于 2016-11-2 18:51:02

不错不错，明天好好研究下！

小憨不傻 · 发表于 2015-7-10 22:27:14

卡尔曼滤波器，就是一个预测器，一个修正器，对于预测器来说最重要的就是状态转移矩阵的设计，对于修正器来说就是观测矩阵的设计，只要设计出这两个矩阵，接下来一切按公式就成了。

enwa · 发表于 2015-7-8 08:52:46

标记一下，慢慢研究

shouqiang_zhang · 发表于 2015-7-8 06:30:16

有空在程序中用下.

freefei · 发表于 2015-4-24 17:53:08

做个标记，以后用的时候慢慢研究

lanlibo · 发表于 2015-4-23 21:47:14

最佳线性滤波器

lfly · 发表于 2015-4-23 21:43:04

先收藏，哪天编个程试试

xuekcd · 发表于 2015-4-23 15:36:08

好复杂，拷贝下来慢慢看，谢谢分享！

truefriend · 发表于 2015-4-23 13:41:36

收藏了，多谢。。

captain_steve · 发表于 2015-4-23 09:22:51

顶一个，好贴

dyjhy · 发表于 2015-4-23 08:48:05

还是没看懂！

glenclh · 发表于 2015-4-23 07:59:10

这个好这个要做记号

GHmcu · 发表于 2015-4-22 20:53:17

用形象的事例来分析，很容易理解，谢谢！

tbcrv · 发表于 2015-4-22 15:27:40

认真学习一下，会有用的。

疯少爷 · 发表于 2015-4-22 15:13:48

正在学习卡尔曼滤波器，有用，帮顶

疯少爷 · 发表于 2015-4-22 15:13:31

正在学习卡尔曼滤波器，有用，帮顶

longjunyi · 发表于 2015-4-16 14:40:38

很好的解释，标记

ゞ從此消失╭ァ · 发表于 2015-4-16 10:02:21

学习下，貌似不错

rapist1992 · 发表于 2015-4-13 14:56:07

mark，还不是很懂卡尔曼滤波

雨醉江南 · 发表于 2015-1-27 10:08:06

这个解释好深刻，慢慢消化

qidaimengxing · 发表于 2015-1-27 10:02:31

mark，以备使用

bd7qw · 发表于 2015-1-27 09:47:10

8年前搞过CC1010模块，接触卡尔曼滤波过，但那时只用了下，形式神不是

dong7758 · 发表于 2014-10-10 15:19:15

mark~

lmf159 · 发表于 2014-10-10 15:01:44

学习下

hwie · 发表于 2014-10-10 14:35:49

很好的解释，标记

ltmooner · 发表于 2014-10-10 14:32:19

mark，以备使用

ackyee · 发表于 2014-10-10 13:43:32

也mark 学习一下

六月峰 · 发表于 2014-10-10 12:47:03

学习一下 mark

tangcangeng · 发表于 2014-5-4 17:10:46

Andre.Gorz 发表于 2012-12-29 21:41
我觉得在学卡尔慢滤波之前看下这个还是很不错的～形象理解。XD

概率论与数理统计->信号与系统->数字信号处理->随机过程->现代数字信号处理->卡尔曼滤波

firstzys · 发表于 2014-5-4 16:47:22

留着以后看

zhudadragon · 发表于 2014-5-4 14:09:46

大学毕业3年了，都忘了相关知识了。

DarrenXu · 发表于 2014-5-4 10:21:41

好贴留名

lingfei · 发表于 2014-4-27 15:03:27

很好 mark

jz701209李 · 发表于 2014-4-26 16:19:31

留名备用

wutaoforever · 发表于 2014-4-26 13:19:18

标记一下，以后用的上

点雨落山岚 · 发表于 2014-4-25 19:28:29

看的头晕。。。

yzb1019 · 发表于 2014-4-25 18:32:20

卡尔曼滤波

jiwx2011 · 发表于 2014-4-25 17:39:32

很好学习下

qiushui_007 · 发表于 2014-4-25 16:25:37

确实很形象

bxcfc · 发表于 2014-4-25 14:24:07

下下来慢慢看

sylarwcy · 发表于 2014-4-16 23:29:41

最近刚把这个吃透，觉得距离能用的卡尔曼还有很远，扩展卡尔曼，非线性卡尔曼，模糊卡尔曼，很多卡尔曼的变型，要一个个分析研究，好难啊！！！

zhaoylx@163.com · 发表于 2014-4-16 21:38:27

楼主，你的程序是不是有点小问题？

linfulin · 发表于 2014-4-16 14:28:00

谢谢分享

血色残阳 · 发表于 2014-3-27 16:22:36

还是不错的，有了一个大致的了解

greenflyqqq · 发表于 2014-3-25 08:18:30

好资料学习了

yangbing2020 · 发表于 2014-3-24 23:37:18

mark

生来孤独 · 发表于 2014-3-24 23:11:06

johnsonzzd 发表于 2012-11-3 21:28
附录程序对不上。我写了一个：运行结果：

请问大神，对预测的不确定度4是怎么得到的？？

ackk · 发表于 2014-3-24 20:39:26

360DOC是亮点

smartchenlang · 发表于 2014-3-24 20:06:52

smartchenlang 发表于 2014-3-24 20:05
上面的程序需要修改，改为：
function kaerman_fun()
N=200;

这样，图形才对！

smartchenlang · 发表于 2014-3-24 20:05:21

上面的程序需要修改，改为：
function kaerman_fun()
N=200;
w=randn(1,N);
x(1)=23;
y=normrnd(25,5,1,N);
y(2)=25;
a=1;
y(1)=x(1);
p(1)=5;
Q=0.000001;
R=0.1;
for k=2:N;
x1(k)=a*x(k-1);
p1(k)=a.^2*p(k-1)+Q;
b(k)=p1(k)/(p1(k)+R);
x(k)=x1(k)+b(k)*(y(k)-x1(k));
p(k)=(1-b(k))*p1(k);
end
tem=25*ones(1,N);
t=1:N;
plot(t,x,'k',t,y,'g',t,tem,'r');
grid
axis([1,N,0,50]);

木君之上 · 发表于 2014-3-23 01:50:25

这个例子看过好多次了，在看过很多论文之后发现真的仅仅是很简单的一个理解，很简单的一个而已，离真正的基础原理（基础）还有距离，而且也没法解决实际问题，要想有收获大家看完这个还得多看资料才有进步

bingxiin8 · 发表于 2014-3-23 01:31:34

滤波效果很好，要用到

机器人天空 · 发表于 2014-3-22 22:45:28

mark.....有时间啃啃

wsm80828 · 发表于 2014-3-22 21:52:24

这个有点难度

lubyudf · 发表于 2014-3-21 14:22:09

先收藏了,.谢谢LZ

a_in_s · 发表于 2014-3-21 13:34:43

mark备用

啥都不懂小白痴 · 发表于 2013-11-6 18:58:40

受教，新手不断学习中

woshiqinyikun · 发表于 2013-11-6 13:11:51

卡尔曼滤波好像很厉害的样子···在图书馆借了几本书都看不懂···
楼主也很厉害的样子！顶一个

gancai · 发表于 2013-11-6 09:49:40

看到高数就头疼啊

bujie8010 · 发表于 2013-11-5 19:26:47

好贴一定要收藏！！！！！！！！！！谢谢楼主！

wind2100 · 发表于 2013-11-5 19:25:41

没图看不懂哈

hd7a27 · 发表于 2013-11-5 19:02:29

学习了，很好用

Elec_Ramble · 发表于 2013-11-5 18:53:32

很形象，学习了！

mahengyu · 发表于 2013-11-5 18:28:05

虽不明但觉厉谢谢楼住

s20120907 · 发表于 2013-11-5 16:34:56

不错的帖子，以前看过

fangyjuny · 发表于 2013-11-5 16:27:42

和百度百科上一样

yat · 发表于 2013-11-5 10:12:47

mark 很形象的！卡尔曼滤波的原理说明转载

sunliezhi · 发表于 2013-11-5 09:36:45

从宏观上来说，我们看到的温度计读数是静止不变的；
从微观上来说，实际上那个温度计读数在微小范围内波动呢；
是这样么？

梁国俭 · 发表于 2013-10-20 18:24:59

学习了谢谢

lianghao9041 · 发表于 2013-10-19 11:37:40

MARK！回头看看

sunbingbing · 发表于 2013-10-19 11:30:39

{:smile:

Sendzimir · 发表于 2013-9-29 09:58:27

mark

yixuanyuxiao · 发表于 2013-9-26 11:45:44

本帖最后由 yixuanyuxiao 于 2013-9-26 12:25 编辑

小笨蛋发表于 2012-5-7 20:50
不过呢我还有个地方比较模糊，就是那个例子中的两个4度是怎么来的，会不会也随着跟新 ...

理解不了，也不太懂

eryueniao · 发表于 2013-9-22 21:29:02

学习啦

kneken · 发表于 2013-9-22 19:46:15

mark

ngc501 · 发表于 2013-9-22 19:27:37

例子很浅显易懂~

dxz0804 · 发表于 2013-9-22 18:54:53

mark，留着慢慢看

很形象的！卡尔曼滤波的原理说明转载

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